Processing math: 0%

ข้อสอบคัดเลือกของทีม USA 2016 (25 ข้อ)

1. รถขับทวนเข็มนาฬิกาบนถนนโค้งเรียบ ด้วยอัตราเร็วคงที่ ถ้าล้อหน้าซ้ายเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี R = 9.60 เมตร และรถกว้าง 1.74 m แล้วอัตราส่วนความเร็วเชิงมุมของการหมุนของเพลาล้อหน้าซ้าย ต่อเพลาล้อหน้าขวาของรถ ขณะเข้าโค้งเท่ากับข้อใด สมมติว่าล้อหมุนโดยไม่ไถล
A 0.331
B 0.630
C 0.708
D 0.815
E 0.847
ตอบ (E)

เนื่องจากความเร็วคงที่ เราจึงใช้ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย ω = Δθ / Δt ได้
โดยทั้งสองล้อจะมี Δt เดียวกัน ส่วน Δθ จะหาจาก
\rm Δθ = S / C
โดยที่ S คือ ความยาวส่วนโค้งที่ล้อกวาดไป และ C คือ เส้นรอบวงของล้อ ให้พิจารความยาวส่วนโค้งในหน่วย \pi เรเดียน จะได้ S = \pi
ดังนั้น Δθ ของล้อซ้ายเท่ากับ
\Delta {\theta _l} = \dfrac{{\pi {\rm{R}}}}{{2\pi {\rm{r}}}}
และ Δθ ของล้อขวาเท่ากับ
\Delta {\theta _r} = \dfrac{{\pi ({\rm{R + dR)}}}}{{2\pi {\rm{r}}}}
จากล้อทั้งสองมีรัศมี r เท่ากัน เมื่อเทียบสัดส่วนจะได้
\dfrac{{{\omega _l}}}{{{\omega _r}}} = \dfrac{{\dfrac{{\pi {\rm{R}}}}{{2\pi {\rm{r}}\Delta {\rm{t}}}}}}{{\dfrac{{\pi ({\rm{R + dR)}}}}{{2\pi {\rm{r}}\Delta {\rm{t}}}}}} = \dfrac{{\rm{R}}}{{{\rm{R + dR}}}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{\rm{dR}}}}{{\rm{R}}}}}
แทนค่าลงไปจะได้
\dfrac{{{\omega _l}}}{{{\omega _r}}} = \frac{1}{{1 + \dfrac{{{\rm{1}}{\rm{.74m}}}}{{{\rm{9}}{\rm{.60m}}}}}} = 0.847
2. ชั้นน้ำมันหนา 3.0 cm มีความหนาแน่น ρo = 800 kg / m3 ลอยเหนือน้ำที่มีความหนาแน่น ρw = 1000 kg / m3 กำหนดให้เดิม 1/3 ของทรงกระบอกตันลอยอยู่ในน้ำ อีก 1/3 ลอยอยู่ในน้ำมัน และอีก 1/3 อยู่ในอากาศ ถ้าเติมน้ำมันเพิ่มจนกว่าทรงกระบอกจะลอยในชั้นน้ำมันเท่านั้น แล้วสัดส่วนของทรงกระบอกที่ลอยอยู่ในชั้นน้ำมันเท่ากับข้อใด
A 3/5
B 3/4
C 2/3
D 8/9
E 4/5
ตอบ (B)

สมมุติว่า ทรงกระบอกมีปริมาตร 3 ลูกบาศก์เมตร แสดงว่ามวลเข้ามาแทนที่น้ำ 1000 kg และเข้ามาแทนที่น้ำมัน 800 kg โดยไม่ต้องพิจารณาการแทนที่ในอากาศ จะได้มวลที่เข้ามาแทนที่ทั้งหมด 1800 kg ถ้าต้องการให้ทรงกระบอกลอยอยู่ในชั้นน้ำมันเท่านั้น หมายความว่าน้ำมันจะต้องถูกแทนที่ด้วยมวล 1800 kg คิดเป็นปริมาณน้ำมันได้
{{\rm{V}}_{\rm{o}}}{\rm{ = }}\left( {{\rm{1800 kg}}} \right){\rm{ / }}\left( {{\rm{800 kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }}\dfrac{9}{4}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}
เทียบสัดส่วนที่ลอยอยู่ในชั้นน้ำมันจะเท่ากับ
\left( {\dfrac{{\rm{9}}}{{\rm{4}}}{\rm{}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{/}}\left( {{\rm{3}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }}\dfrac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}{\rm{}}
3. นักเรียนวิชาฟิสิกส์เบื้องต้น ฉลองเกรดเทอมแรกของเขาด้วยการทิ้งหนังสือลงมาจากระเบียงลงยังไปกองหิมะด้านล่างสูง 3.00 m ถ้าหนังสือเล่มนี้จมลงไปในหิมะประมาณ 1.00 m และหนังสือมีมวล 5 kg แล้วแรงเฉลี่ยที่หิมะกระทำกับหนังสือเท่ากับข้อใด
A 85 N
B 100 N
C 120 N
D 150 N
E 200 N
ตอบ (E)

กำหนดตัวแปร H = 3.00 m , h = 1.00 m และ v เป็นอัตราเร็วที่หนังสือตกลงไปถึงพื้น จากหลักจลน์ศาสตร์จะได้
\rm 2gH = v^2 =2ah
โดย a คือ ความเร่งบนหิมะ
เนื่องจาก a = 3g 
ดังนั้น แรงที่หิมะกระทำกลับมาจะเท่ากับ 4mg

หรือคิดจากพลังงานศักย์ที่สูญเสียจากแรงเสียดทาน
\rm mg × 4 เมตร \rm = F × 1 เมตร
ดังนั้น F = 4mg นิวตัน
4. ปล่อยลูกปัดให้ไถลไปตามลวดที่ขดเหมือนสปริงในแนวตั้ง ข้อใดคือกราฟขนาดความเร่งลัพธ์ a ต่อเวลา t
ของเหตุการณ์ดังกล่าว
A
B
C
D
E
ตอบ (D)

ความเร่งในแนวสัมผัสกับเกลียวลวดจะเท่ากับ 
\rm a_t = g~ sin θ
โดย θ คือ ขนาดมุมเอียงของเกลียวลวด ถ้าความเร่งมาก ลูกปัดก็จะเคลื่อนที่เร็วขึ้น ตามสมการ 
\rm v = a_t t
เนื่องจากลูกปัดเคลื่อนที่เป็นวงกลม ความเร่งตามเรเดียนจะเท่ากับ 
{\rm{a = }}\dfrac{{{{\rm{v}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{r}}}{\rm{ = }}\dfrac{{{\rm{a}}_{\rm{t}}^{\rm{2}}}}{{\rm{r}}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}
ดังนั้น ความเร่งของลูกปัดจะเท่ากับ
{\rm{a}} = \sqrt {{{\rm{a}}_{\rm{r}}}^2 + {{\rm{a}}_{\rm{t}}}^2} = {{\rm{a}}_{\rm{t}}}\sqrt {{{\rm{a}}_{\rm{t}}}^2\dfrac{{{{\rm{t}}^4}}}{{{{\rm{r}}^2}}} + 1}
5. พิจารณาวัตถุในกล่องที่มีแรงโน้มถ่วงในทิศลง ดังรูป
กำหนดให้ วัตถุมีความเร็วต้นดังรูป และกล่องมีความเร่งคงที่ไปทางด้านขวา
แล้วภาพในข้อใด แสดงทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุภายในกล่องได้ถูกต้อง
A
B
C
D
E
ตอบ (C)

โดยปกติแล้ว การเคลื่อนที่ที่มีความเร่งจะเคลื่อนที่แบบพาราโบลา ซึ่งตรงกับข้อ (C) และ (E) 
แต่ (E) ผิด เพราะ การเคลื่อนที่นั้นจะเกิดในกรณีที่ไม่มีความเร่งในแนวนอน
6. พิจารณาวัตถุในกล่องที่มีแรงโน้มถ่วงในทิศลง ดังรูป
กำหนดให้ วัตถุมีความเร็วต้นดังรูป และกล่องมีความเร่งคงที่ไปทางด้านขวา

หากเลือกขนาดความเร่งของกล่องได้ถูกต้อง วัตถุสามารถเคลื่อนที่กลับมายังจุดเริ่มได้อีกครั้ง ภาพในข้อใด แสดงทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุภายในกล่องได้ถูกต้อง
A
B
C
D
E
ตอบ (A)

โดยปกติแล้ว การเคลื่อนที่ที่มีความเร่งจะเคลื่อนที่แบบพาราโบลา
ดังนั้น ทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุภายในกล่องจะเป็นไปตามข้อ (A)
7. (เกินหลักสูตรการสอบเข้า สอวน.) มวลติดกับสปริงที่ยังไม่ถูกยืดออกและตรึงปลายด้านหนึ่งไว้ ถูกวางบนโต๊ะลื่น ถ้าขยับมวลออกมาด้วยระยะ A ขนานกับโต๊ะ แต่ตั้งฉากกับสปริงจนเกิดการสั่น แล้วคาบของการสั่น T จะเปลี่ยนไปอย่างไร
A คาบของการสั่นไม่ได้ขึ้นกับระยะ A
B เพิ่มขึ้น เมื่อ A เพิ่มขึ้น และเข้าใกล้ค่าคงที่ค่าหนึ่ง
C ลดลง เมื่อ A เพิ่มขึ้น และเข้าใกล้ค่าคงที่ค่าหนึ่ง
D หาค่าประมาณเป็นค่าคงที่ได้ เมื่อ A มีค่าเล็กๆ จากนั้นจะเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต
E หาค่าประมาณเป็นค่าคงที่ได้ เมื่อ A มีค่าเล็กๆ จากนั้นจะลดลงโดยไม่มีขอบเขต
ตอบ (C)
8. จากกฎของเคปเลอร์ ( Kepler's Laws ) ระบุว่า
      I. วงโคจรของดาวเคราะห์จะเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัส
     II. เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์จะกวาดพื้นที่ได้เท่ากัน ในระยะเวลาที่เท่ากัน
    III. กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์ เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอก 
(semimajor axis) ของวงโคจร
กฎข้อใดจะเป็นจริง ถ้าแรงโน้มถ่วงมีสัดส่วนเป็น 1/r3 แทนที่จะเป็น 1/r2
A เฉพาะข้อ I.
B เฉพาะข้อ II.
C เฉพาะข้อ III.
D ข้อ I. และ II.
E ไม่มีข้อใดเป็นจริง
ตอบ (B)

เพราะกฎข้อที่สองเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม จึงเป็นจริงสำหรับ central potential ใดๆ 
ส่วนอีกสองข้อจำเป็นจะต้องแปรผันกับ 1/r2
9. ลูกปัดขนาดเล็กวางอยู่บนลูกแก้วกลมลื่นที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง D ดังรูป ถ้าสะกิดให้ลูกปัดลื่นไปตามลูกแก้ว แล้วอัตราเร็ว v ของลูกปัด ขณะไหลตกจากลูกแก้วเท่ากับข้อใด
A \rm v = \sqrt {gD}
B \rm v = \sqrt {4gD/5}
C \rm v = \sqrt {2gD/3}
D \rm v = \sqrt {gD/2}
E \rm v = \sqrt {gD/3}
ตอบ (E)

หาคำตอบจากสมการ
\begin{align*} \rm mgh &=\frac{1}{2}\rm mv^2\\ \rm{mg ~sin}\theta &= \rm m\frac{v^2}{\rm R} \end{align*}
10. กล่องสองใบ ถูกผูกติดกันด้วยเชือกเบาสองเส้น และนำไปแขวนไว้บนเพนดาน ดังรูป มวลของกล่องบนและล่างหนัก m1 = 2 kg และ m2 = 4 kg ตามลำดับ ถ้าตัดเชือกที่แขวนกับเพดานแล้วความเร่งของกล่องทั้งสองใบ ขณะกล่องใบบนสุดเริ่มร่วงลงจะเท่ากับข้อใด
A กล่องบน: 10 m/s2, กล่องล่าง: 0
B กล่องบน: 10 m/s2, กล่องล่าง: 10m/s2
C กล่องบน: 20 m/s2, กล่องล่าง: 10 m/s2
D กล่องบน: 30 m/s2, กล่องล่าง: 0
E กล่องบน: 30 m/s2, กล่องล่าง: 10 m/s2
ตอบ (D)

แผนภาพของกล่องใบที่ 1 และ 2 ก่อนตัดเชือก สามารถใช้พิจารณาขณะเชือกถูกตัดทันทีได้ เพราะเวลาที่เชือกถูกตัดนั้นสั้นมาก และไม่ก่อให้เกิดแรงที่กระทำต่อกล่องใบที่ 1 ลองใช้ผลที่ได้จากแผนภาพหาความเร่งของกล่องทั้งสองใบดู
 
11. พลังงานที่ออกมาจากรถทดลองรุ่นทรงลูกบาศก์ จะแปรผันตามมวล m ของรถ และแรงต้านอากาศต่อรถจะแปรผันตาม Av2 โดย v คือ อัตราเร็วของรถ และ A คือ พื้นที่ตัดขวาง เมื่ออยู่บนถนนเรียบรถจะมีอัตราเร็วสูงสุดเป็น vmax สมมุติว่า รถรุ่นนี้มีความหนาแน่นเท่ากันทุกคัน แล้วข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง
A \rm {v_{\max }} \propto {{\rm{m}}^{1/9}}
B \rm {v_{\max }} \propto {{\rm{m}}^{1/7}}
C \rm {v_{\max }} \propto {{\rm{m}}^{1/3}}
D \rm {v_{\max }} \propto {{\rm{m}}^{2/3}}
E \rm {v_{\max }} \propto {{\rm{m}}^{3/4}}
ตอบ (A)

จากปริมาตรของลูกบาศก์ L ∝ m1/3 ดังนั้น A ∝ m2/3 และโจทย์ให้ความหนาแน่นเป็นค่าคงที่ 
จะหาความเร็วได้ ดังนี้
\rm m ∝ P = Fv ∝ Av^3 ∝ m^{2/3} v^3
ดังนั้น
\rm m ∝ v^9
12. ให้ภาชนะที่บรรจุของเหลว มีบล็อกก้อนหนึ่งลอยแบบจมบางส่วนอยู่ ถ้าเราเพิ่มความเร่งให้ทั้งภาชนะ แล้วผลลัพธ์จะเป็นอย่างไร สมมุติว่า ทั้งบล็อกและของเหลวไม่สามารถบีบอัดได้
A บล็อกจะจมลงไปในของเหลว
B บล็อกในของเหลวจะลอยสูงขึ้น
C บล็อกจะไม่ลอยหรือจมไปจากเดิม
D คำตอบขึ้นอยู่กับทิศทางการเคลื่อนที่ของภาชนะ
E คำตอบขึ้นอยู่กับอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร่ง
ตอบ (C)

ส่วนที่จมหรือลอยไม่ขึ้นกับค่าความโน้มถ่วง g กล่าวคือ
ρวัตถุgVวัตถุ = ρเหลวgVแทนที่
Vแทนที่ = (ρวัตถุ Vวัตถุ)/ρเหลว 
ดังนั้น บล็อกจะไม่ลอยหรือจมไปจากเดิม
13. วัตถุมวล m1 เริ่มเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v0 แล้วชนกับวัตถุที่เดิมหยุดนิ่ง มวล m2 = αm1 โดยที่ α < 1 การชนกันอาจจะยืดหยุ่นสมบูรณ์ ไม่สมบูรณ์ หรือยืดหยุ่นบางส่วนก็ได้ หลังการชน วัตถุทั้งสองจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v1 และ v2 สมมุติว่า เป็นการชนกันหนึ่งมิติ และวัตถุแรกไม่สามารถทะลุผ่านวัตถุสองได้ แล้วอัตราส่วนอัตราเร็วของวัตถุที่สองหลังการชน r2 = v2  / v0 จะอยู่ในช่วงใด    
A (1 – α) / (1 + α) ≤  r2  ≤ 1
B (1 – α) / (1 + α) ≤  r2  ≤ 1 / (1 + α)
C α / (1 + α) ≤  r2  ≤ 1
D 0 ≤  r2  ≤ 2 α / (1 + α)
E 1 / (1 + α) ≤  r2  ≤ 2 / (1 + α)
ตอบ (E)

จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม และพลังงานจลน์ ในกรณีที่การชนนั้นยืดหยุ่นสมบูรณ์ จะได้ว่า
\begin{array}{l} \rm{r_1} = \dfrac{{{v_1}}}{{{v_0}}} = \dfrac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}\\ \rm{r_2} = \dfrac{{{v_2}}}{{{v_0}}} = \dfrac{2}{{1 + \alpha }} \end{array}
เนื่องจาก \rm \alpha < 1 วัตถุ m1 จะมีอิทธิพลมากกว่าวัตถุ m2 ดังนั้น การเคลื่อนที่จะยังคงไปข้างหน้า 
จากกฏการอนุรักษ์โมเมนตัม ในกรณีที่การชนนั้นไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ จะได้ว่า
\rm {r_1} = {r_2} = \dfrac{1}{{1 + \alpha }}
จากที่วัตถุ m2 เคลื่อนที่ไปข้างหน้าเสมอ และวัตถุ m1 ไม่สามารถทะลุผ่านวัตถุ m2 ได้ ดังนั้น วัตถุ m2 จะต้องเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่เป็นบวกมากกว่า (หรือเท่ากับ) วัตถุ m1 
ดังนั้น
\rm 1/(1 + \alpha ) \le {r_2} \le 2/(1 + \alpha )
การหาช่วงคำตอบของ วัตถุ m1 อาจจะยากกว่าเล็กน้อย เพราะสถานการณ์นี้อาจจะมีการกระดอนกลับเกิดขึ้น แต่ในกรณีนี้ \rm \alpha < 1 ทำให้ความเร็วหลังการชนเคลื่อนที่ไปข้างหน้า จึงได้ว่า
\rm (1 - \alpha )/(1 + \alpha ) \le {r_1} \le 1/(1 + \alpha )
14. (เกินหลักสูตรการสอบเข้า สอวน.)
กำหนดคานยาว l วางบนระนาบพื้นลื่น ปลายด้านหนึ่งถูกยึดให้หมุนรอบแกนได้ และปลายอีกด้านติดสปริงยาว L >> l ขณะยังไม่ยืดออก สปริงถูกวางอยู่บนพื้นและตั้งฉากกับคาน และสปริงฝั่งที่ติดกับคานสามารถขยับได้ และปลายอีกข้างเป็นจุดตรึง เมื่อขยับคานหมุนรอบแกนเล็กน้อย สปริงจะสั่นด้วยความถี่ f
ถ้าย้ายตำแหน่งของสปริง และจุดตรึง ไปยังจุดกึ่งกลางของคาน แล้วขยับคานเล็กน้อย ความถี่การสั่นของสปริงจะเท่ากับข้อใด
A \rm f/2
B \rm f/\sqrt{2}
C \rm f
D \rm \sqrt{2}f
E \rm 2f
ตอบ (A)

สังเกตว่า สปริงยังคงตั้งฉากกับคานเหมือนเดิม
สมมุติว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของคานรอบจุดหมุนคือ I ระยะจากจุดหมุนถึงสปริงคือ r และค่านิจสปริงคือ k เมื่อขยับคานทำมุม θ สปริงจะยืดออก θr และแรงที่กระทำโดยสปริงจะเท่ากับ kθr มีระยะห่างจากจุดหมุน r จะได้สมการการเคลื่อนที่ ดังนี้
\begin{align*} \rm \tau &= \rm I\alpha \\ \rm - k{r^2}\theta &=\rm I\ddot \theta \end{align*}
พิจารณา สูตรความถี่ของการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย
{\rm{f = }}\dfrac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\pi }}\omega {\rm{ = }}\dfrac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\pi }}\sqrt {\dfrac{{{\rm{k}}{{\rm{r}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{I}}}}
จะเห็นว่า ความถี่แปรผันตรงกับระยะห่าง r เมื่อระยะห่างลดลงครึ่งหนึ่ง ความถี่ก็จะลดลงครึ่งหนึ่งเช่นกัน
15. (เกินหลักสูตรการสอบเข้า สอวน.)
กำหนดคานยาว l วางบนระนาบพื้นลื่น ปลายด้านหนึ่งถูกยึดให้หมุนรอบแกนได้ และปลายอีกด้านติดสปริงยาว L >> l ขณะยังไม่ยืดออก สปริงถูกวางอยู่บนพื้นและตั้งฉากกับคาน และสปริงฝั่งที่ติดกับคานสามารถขยับได้ และปลายอีกข้างเป็นจุดตรึง เมื่อขยับคานหมุนรอบแกนเล็กน้อย สปริงจะสั่นด้วยความถี่ f
ถ้าย้ายสปริงกลับไปที่ตำแหน่งเดิม และให้จุดตรึงอยู่ในแนวเดียวกับคาน เมื่อขยับจุดตรึงให้ยืดออกไป l แล้วความถี่การสั่นของสปริงจะเท่ากับข้อใด
A \rm f/3
B \rm f/\sqrt3
C \rm f
D \rm \sqrt3 f
E \rm 3f
ตอบ (C)

สมมุติว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของคานรอบจุดหมุนคือ I ระยะจากจุดหมุนถึงสปริงคือ r และค่านิจสปริงคือ k เมื่อขยับคานทำมุม θ สปริงจะยืดออก θr และแรงที่กระทำโดยสปริงจะเท่ากับ kθr มีระยะห่างจากจุดหมุน r จะได้สมการการเคลื่อนที่ ดังนี้
\rm \tau = \rm I\alpha
\rm - k{r^2}\theta =\rm I\ddot \theta  --- (1)
สังเกตว่า แรงตึงในสปริงสามารถแทนด้วยค่าคงที่
พิจารณา แรงที่กระทำโดยสปริง คือ kl และระยะห่างจากจุดหมุนคือ lθ จะได้สมการการเคลื่อนที่ ดังนี้
- {\rm{k}}{l^2}\theta = {\rm{I}}\ddot \theta
ซึ่งตรงกับสมการการเคลื่อนที่ (1) (โดย r = l) ดังนั้น ความถี่ต้องมีค่า f เท่าเดิม
16. ลูกบอลกลิ้งลงมาจากรถบรรทุกที่วิ่งไปทิศขวาด้วยอัตราเร็ว 10.0 m/s ส่วนลูกบอลกลิ้งตามแนวราบด้วยอัตราเร็ว 8.0 m/s ในทิศซ้ายมือของผู้สังเกตบนรถบรรทุก ถ้าลูกบอลตกลงบนพื้นถนนจากความสูง 1.25 m แล้วจุดที่ลูกบอลตกกระทบพื้นขณะนั้น จะห่างจากด้านหลังของรถบรรทุกเท่าใด
A 0.50 m
B 1.0 m
C 4.0 m
D 5.0 m
E 9.0 m
ตอบ (C)

ใช้สูตร
\rm d = \dfrac{1}{2}a{t^2}
จะได้เวลาในการตกถึงพื้น 0.5s เทียบกับอัตราเร็วรถบรรทุก 
ดังนั้น ระยะห่างจากรถบรรทุกเท่ากับ (8.0m/s)(0.5s) = 4.0 m
17. (เกินหลักสูตรการสอบเข้า สอวน.) จากรูป ลูกปิงปองมวล m กลิ้งอยู่บนพื้นด้วยความเร็วต้นในแนวนอน v และความเร็วเชิงมุม ω เนื่องจากพื้นมีแรงเสียดทาน ทำให้ความเร็วและความเร็วเชิงมุมของลูกปิงปองเปลี่ยนแปลงไป จงหาความเร็ววิกฤติ vc ที่ทำให้ลูกปิงปองหยุดนิ่ง อย่าลืมว่าลูกปิงปองเป็นทรงกลมกลวง
A \rm v = \dfrac{2}{3}R\omega
B \rm v = \dfrac{2}{5}R\omega
C \rm v = R\omega
D \rm v = \dfrac{3}{5}R\omega
E \rm v = \dfrac{5}{3}R\omega
ตอบ (A)

โมเมนตัมเริ่มต้นของลูกปิงปองเท่ากับ mv และโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดศูนย์กลางเร่มต้น เท่ากับ \rm I\omega = \dfrac{2}{3}m{R^2}\omega
เมื่อลูกปิงปองสัมผัสกับพื้นที่มีแรงเสียดทาน จะเกิดแรงดล \rm F\delta t และเกิดทอร์ก \rm FR\delta t
ดังนั้นเราจะได้
\rm F\delta t = mv  --- (1)
และ
\rm Fr\delta t = \dfrac{2}{3}m{r^2}\omega  --- (2)
นำ (2) ÷ (1) จะได้
\rm R = \dfrac{2}{3}m{R^2}\dfrac{\omega }{v}
18. วัตถุที่เดิมหยุดนิ่ง ถูกหมุนและเร่งความเร็วจนมีความเร็วเชิงมุม \rm ω = π /15~ rad / s และความเร่งเชิงมุม \rm α = π / 75~ rad / s^2 ถ้าวัตถุยังคงหมุนต่อด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ และหยุดด้วยความเร่งเชิงมุมที่มีขนาดเท่ากับความเร่งก่อนหน้านี้ แล้วระยะเวลาที่วัตถุจะหมุนวนครบ 3 รอบเท่ากับข้อใด
 
A 75 s
B 80 s
C 85 s
D 90 s
E 95 s
ตอบ (E)

การหมุนทั้งสามแบบ คือ การหมุนด้วยอัตราเร็วเพิ่มขึ้น คงที่ และลดลง ช่วงของการเปลี่ยนความเร็วจะสมมาตรกัน โดยมีระยะห่าง \rm \theta = 6\pi จึงได้ว่า
 
\rm \theta = \alpha t_1^2 + \omega {t_2}

แต่ \rm \omega = \alpha {t_1} ดังนั้น
\rm \theta = \alpha {\left( {\dfrac{\omega }{\alpha }} \right)^2} + \omega {t_2}

เมื่อแก้สมการจะได้ t2 = 85 s และ t1 = 5 s เนื่องจาก t1 เกิดขึ้นสองครั้ง 
ดังนั้น คำตอบ คือ 95 s
19. ลวดรูปครึ่งวงกลมมีรัศมี R ถูกจับตั้ง ดังรูป ถ้าปล่อยลูกปัดให้ลื่นลงมาจากด้านบนของลวด โดยไม่มีแรงเสียดทานตามแรงโน้มถ่วง แล้วพุ่งออกจากปลายลวดลงไปยังพื้นดินที่ระดับความสูง H  อยู่ไกลจากปลายลวดในแนวนอน D 
กราฟใดเป็นกราฟ RH เทียบกับ D2 ของเหตุการณ์ดังกล่าว
A
B
C
D
E
ตอบ (D)

ให้ v  เป็นอัตราเร็วขณะลูกปัดหล่นออกจากปลายลวด จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน จะได้
\rm\dfrac{1}{2}{v^2} = 2gR
ให้ t เป็นเวลาที่ลูกปัดเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ จะได้ D = vt และ 
\rm H = \dfrac{1}{2}g{t^2} = \dfrac{1}{2}g{\left( {\dfrac{D}{v}} \right)^2}
รวมสมการจะได้
\rm H = \dfrac{1}{8}\dfrac{{{D^2}}}{R}
ดังนั้น กราฟ RH เทียบกับ D2 จะเป็นเส้นตรง
20. ปริซึมมุมฉาก มีหน้าตัดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สูง h ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว w = 2h วางอยู่บนพื้นเอียงที่ทำมุมกับแนวนอน θ ข้อใดคือสัมประสิทธิ์ต่ำสุดของแรงเสียดทานสถิตที่ทำให้ปริซึมหมุนกลิ้งลงมา (โดยมีจุดยอดหนึ่งเป็นจุดหมุน) และไม่ไถล
A 0.71
B 1.41
C 1.50
D 1.73
E 3.00
ตอบ (E)

ปริซึมจะหมุนกลิ้งลงมา เมื่อจุดศูนย์กลางมวลของปริซึมอยู่สูงกว่ามุมขวาของด้านที่วางบนพื้นเอียง หากอธิบายด้วยตรีโกณมิติ จะกล่าวได้ว่า ปริซึมจะหมุนกลิ้งลงมา เมื่อ
\rm \tan \theta > \mu
จะเห็นว่าค่าที่สอดคล้อง คือ ข้อ (E)
21. คานเบายาว L ที่วางตัวในแนวดิ่งและปลายบนติดกับมวล m ปลายล่างสัมผัสกับพื้นและติดกับมวล 3m กำหนดให้ไม่มีแรงเสียดทาน และสมมุติว่าทุกอย่างเคลื่อนที่ในระนาบเดียว
ถ้า x เป็นระยะกระจัดในแนวนอนของมวล m เมื่อกระทบพื้น แล้วค่า x มีค่าเท่ากับข้อใด
A \rm x=\dfrac{3}{4}L
B \rm x=\dfrac{3}{5}L
C \rm x=\dfrac{1}{4}L
D \rm x=\dfrac{1}{3}L
E \rm x=\dfrac{2}{5}L
ตอบ (A)

เนื่องจากจุดศูนย์กลางมวลของระบบไม่สามารถเคลื่อนที่ในแนวนราบได้ จึงไม่แรงที่กระทำกับในแนวนอน
ดังนั้น \rm x=\dfrac{3}{4}L
22. คานเบายาว L ที่วางตัวในแนวดิ่งและปลายบนติดกับมวล m ปลายล่างสัมผัสกับพื้นและติดกับมวล 3m กำหนดให้ไม่มีแรงเสียดทาน และสมมุติว่าทุกอย่างเคลื่อนที่ในระนาบเดียว
ถ้า v เป็นอัตราเร็วของมวล m เมื่อกระทบพื้น แล้วค่า v มีค่าเท่ากับข้อใด
A \rm v = \sqrt {2gL}
B \rm v = \sqrt {gL}
C \rm v = \sqrt {2gL/3}
D \rm v = \sqrt {3gL/2}
E \rm v = \sqrt {gL/4}
ตอบ (A)

มวล m จะเคลื่อนที่เฉพาะในแนวตั้งก่อนตกถึงพื้น และในขณะนั้นมวล 3m จะถูกทำให้เคลื่อนที่ แต่ตอนนี้มวล 3m จะยังอยู่นิ่งก่อน และพลังงานจะถูกสงวนไว้ ดังนั้น ทุกพลังงานศักย์ที่จุดศูนย์กลางมวลของระบบจะอยู่ในมวล m จะได้ว่า 
\rm U = 4mgh
เมื่อ h คือ ความสูงของจุดศูนย์กลางมวล โดยที่ \rm h = \dfrac{1}{4}L
ดังนั้น
\rm U = mgL
และแน่นอนว่า เราต้องแปลงเป็นพลังงานศักย์ของมวล m ก่อนจะได้
\rm mgL = \dfrac{1}{2}m{v^2}
ดังนั้น \rm v = \sqrt {2gL}
23. หนังยางสม่ำเสมอมวล M และมีค่านิจสปริง k มีรัศมีเดิม R ถ้าขว้างหนังยางออกไปในอากาศ โดยสมมุติว่า 
หนังยางยังคงเป็นวงกลม และหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม ω รอบจุดศูนย์กลางวงแล้วข้อใด คือ รัศมีใหม่ของหนังยาง
A \rm ( 2πkR ) / ( 2πk - Mω^2 )
B \rm( 4πkR ) / ( 4πk - Mω^2 )
C \rm ( 8π^2 kR ) / ( 8π^2 k - Mω^2 )
D \rm ( 4π^2 kR ) / ( 4π2 k - Mω^2 )
E \rm ( 4πkR ) / ( 2πk - Mω^2 )
ตอบ (D)

สำหรับองค์ประกอบของมวล \rm\Delta Mให้พิจารณา
\rm 2T\sin \dfrac{{\Delta \theta }}{2} = \Delta m{\omega ^2}R'
จาก \sin \dfrac{{\Delta \theta }}{2} \approx \dfrac{{\Delta \theta }}{2} จะได้ว่า
\rm T = \dfrac{M}{{2\pi }}{\omega ^2}R'
ในขณะที่
\rm T = k2\pi (R' - R)
เทียบ T ทั้งสองสมการ แล้วจัดรูปจะได้
\rm R' = \dfrac{{4{\pi ^2}kR}}{{4{\pi ^2}k - M{\omega ^2}}}
24. โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสม่ำเสมอมวล m แต่ละด้านยาว a แกนที่ผ่านด้านใดด้านหนึ่งและขนานกับด้านนั้นเท่ากับ (1/8)ma2 แล้วโมเมนต์ความเฉื่อยของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามวล m แต่ละด้านยาว a แกนที่ผ่านสองจุดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม เท่ากับข้อใด
A (1/8)ma2
B (5/24)ma2
C (17/72)ma2
D (19/72)ma2
E (9/32)ma2
ตอบ (B)

เราสามารถแบ่งรูปหกเหลี่ยมมวล m เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้หกอัน โดยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่อันจะรวมกันได้ (1/8)(m/6)a2 ส่วนอีกสองอันจะรวมกันได้ ((1/24+1/3)a2)(m/6) ตามทฤษฎีบทของแกนขนาน
เมื่อรวมทั้งหมดจะได้ (5/4)(m/6)a2 = (5/24)ma2
25. นักเรียนสามคน วัดความยาวคานยาว 1.50 เมตร แต่ละคนรายงานความคลาดเคลื่อนในการประมาณค่า เพื่อให้ทราบข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นจากการวัด ดังนี้  
ก : วัดครั้งเดียว โดยใช้ตลับเมตรความยาว 2.0 เมตร มีความคลาดเคลื่อน ± 2 มิลลิเมตร 
ข : วัดสองครั้ง โดยใช้ไม้เมตร แต่ละครั้งมีความคลาดเคลื่อน ± 2 มิลลิเมตร ซึ่งเขารวมความคลาดเคลื่อนเข้าด้วยกัน
ค : วัดสองครั้ง โดยใช้ไม้บรรทัดสเกลละเอียดสำหรับงานช่าง แต่ละครั้งมีความคลาดเคลื่อน ± 1 มิลลิเมตร ซึ่งเขารวมความคลาดเคลื่อนเข้าด้วยกัน
จากข้อมูล ครูต้องเลือกข้อมูลที่มีความผิดพลาดน้อยที่สุด ข้อใดจัดลำดับความน่าเชื่อถือได้ถูกต้อง
 
A ค > ก > ข
B ก > ค > ข
C ก = ค > ข 
D ค > ( ก = ข )
E ก > ( ข = ค )
ตอบ (A)