ข้อสอบคัดเลือกของทีม USA 2016 (25 ข้อ)

1.	รถขับทวนเข็มนาฬิกาบนถนนโค้งเรียบ ด้วยอัตราเร็วคงที่ ถ้าล้อหน้าซ้ายเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี R = 9.60 เมตร และรถกว้าง 1.74 m แล้วอัตราส่วนความเร็วเชิงมุมของการหมุนของเพลาล้อหน้าซ้าย ต่อเพลาล้อหน้าขวาของรถ ขณะเข้าโค้งเท่ากับข้อใด สมมติว่าล้อหมุนโดยไม่ไถล

A	0.331
B	0.630
C	0.708
D	0.815
E	0.847

ดูเฉลย

ตอบ (E)

เนื่องจากความเร็วคงที่ เราจึงใช้ความเร็วเชิงมุมเฉลี่ย ω = Δθ / Δt ได้
โดยทั้งสองล้อจะมี Δt เดียวกัน ส่วน Δθ จะหาจาก

$\rm Δθ = S / C$

โดยที่ S คือ ความยาวส่วนโค้งที่ล้อกวาดไป และ C คือ เส้นรอบวงของล้อ ให้พิจารความยาวส่วนโค้งในหน่วย

$\pi$ เรเดียน จะได้ S =

$\pi$ R
ดังนั้น Δθ ของล้อซ้ายเท่ากับ

$\Delta {\theta _l} = \dfrac{{\pi {\rm{R}}}}{{2\pi {\rm{r}}}}$

และ Δθ ของล้อขวาเท่ากับ

$\Delta {\theta _r} = \dfrac{{\pi ({\rm{R + dR)}}}}{{2\pi {\rm{r}}}}$

จากล้อทั้งสองมีรัศมี r เท่ากัน เมื่อเทียบสัดส่วนจะได้

$\dfrac{{{\omega _l}}}{{{\omega _r}}} = \dfrac{{\dfrac{{\pi {\rm{R}}}}{{2\pi {\rm{r}}\Delta {\rm{t}}}}}}{{\dfrac{{\pi ({\rm{R + dR)}}}}{{2\pi {\rm{r}}\Delta {\rm{t}}}}}} = \dfrac{{\rm{R}}}{{{\rm{R + dR}}}} = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{{\rm{dR}}}}{{\rm{R}}}}}$

แทนค่าลงไปจะได้

$\dfrac{{{\omega _l}}}{{{\omega _r}}} = \frac{1}{{1 + \dfrac{{{\rm{1}}{\rm{.74m}}}}{{{\rm{9}}{\rm{.60m}}}}}} = 0.847$

2.

ชั้นน้ำมันหนา 3.0 cm มีความหนาแน่น ρ_o = 800 kg / m³ ลอยเหนือน้ำที่มีความหนาแน่น ρ_w = 1000 kg / m³ กำหนดให้เดิม 1/3 ของทรงกระบอกตันลอยอยู่ในน้ำ อีก 1/3 ลอยอยู่ในน้ำมัน และอีก 1/3 อยู่ในอากาศ ถ้าเติมน้ำมันเพิ่มจนกว่าทรงกระบอกจะลอยในชั้นน้ำมันเท่านั้น แล้วสัดส่วนของทรงกระบอกที่ลอยอยู่ในชั้นน้ำมันเท่ากับข้อใด

A	3/5
B	3/4
C	2/3
D	8/9
E	4/5

ดูเฉลย

ตอบ (B)

สมมุติว่า ทรงกระบอกมีปริมาตร 3 ลูกบาศก์เมตร แสดงว่ามวลเข้ามาแทนที่น้ำ 1000 kg และเข้ามาแทนที่น้ำมัน 800 kg โดยไม่ต้องพิจารณาการแทนที่ในอากาศ จะได้มวลที่เข้ามาแทนที่ทั้งหมด 1800 kg ถ้าต้องการให้ทรงกระบอกลอยอยู่ในชั้นน้ำมันเท่านั้น หมายความว่าน้ำมันจะต้องถูกแทนที่ด้วยมวล 1800 kg คิดเป็นปริมาณน้ำมันได้

${{\rm{V}}_{\rm{o}}}{\rm{ = }}\left( {{\rm{1800 kg}}} \right){\rm{ / }}\left( {{\rm{800 kg/}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }}\dfrac{9}{4}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$

เทียบสัดส่วนที่ลอยอยู่ในชั้นน้ำมันจะเท่ากับ

$\left( {\dfrac{{\rm{9}}}{{\rm{4}}}{\rm{}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{/}}\left( {{\rm{3}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{ = }}\dfrac{{\rm{3}}}{{\rm{4}}}{\rm{}}$

3.	นักเรียนวิชาฟิสิกส์เบื้องต้น ฉลองเกรดเทอมแรกของเขาด้วยการทิ้งหนังสือลงมาจากระเบียงลงยังไปกองหิมะด้านล่างสูง 3.00 m ถ้าหนังสือเล่มนี้จมลงไปในหิมะประมาณ 1.00 m และหนังสือมีมวล 5 kg แล้วแรงเฉลี่ยที่หิมะกระทำกับหนังสือเท่ากับข้อใด

A	85 N
B	100 N
C	120 N
D	150 N
E	200 N

ดูเฉลย

ตอบ (E)

กำหนดตัวแปร H = 3.00 m , h = 1.00 m และ v เป็นอัตราเร็วที่หนังสือตกลงไปถึงพื้น จากหลักจลน์ศาสตร์จะได้

$\rm 2gH = v^2 =2ah$

โดย a คือ ความเร่งบนหิมะ
เนื่องจาก a = 3g
ดังนั้น แรงที่หิมะกระทำกลับมาจะเท่ากับ 4mg

หรือคิดจากพลังงานศักย์ที่สูญเสียจากแรงเสียดทาน

$\rm mg × 4$ เมตร

$\rm = F × 1$ เมตร

ดังนั้น F = 4mg นิวตัน

4.	ปล่อยลูกปัดให้ไถลไปตามลวดที่ขดเหมือนสปริงในแนวตั้ง ข้อใดคือกราฟขนาดความเร่งลัพธ์ a ต่อเวลา t ของเหตุการณ์ดังกล่าว

A
B
C
D
E

ดูเฉลย

ตอบ (D)

ความเร่งในแนวสัมผัสกับเกลียวลวดจะเท่ากับ

$\rm a_t = g~ sin θ$

โดย θ คือ ขนาดมุมเอียงของเกลียวลวด ถ้าความเร่งมาก ลูกปัดก็จะเคลื่อนที่เร็วขึ้น ตามสมการ

$\rm v = a_t t$

เนื่องจากลูกปัดเคลื่อนที่เป็นวงกลม ความเร่งตามเรเดียนจะเท่ากับ

${\rm{a = }}\dfrac{{{{\rm{v}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{r}}}{\rm{ = }}\dfrac{{{\rm{a}}_{\rm{t}}^{\rm{2}}}}{{\rm{r}}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}$

ดังนั้น ความเร่งของลูกปัดจะเท่ากับ

${\rm{a}} = \sqrt {{{\rm{a}}_{\rm{r}}}^2 + {{\rm{a}}_{\rm{t}}}^2} = {{\rm{a}}_{\rm{t}}}\sqrt {{{\rm{a}}_{\rm{t}}}^2\dfrac{{{{\rm{t}}^4}}}{{{{\rm{r}}^2}}} + 1}$

5.	พิจารณาวัตถุในกล่องที่มีแรงโน้มถ่วงในทิศลง ดังรูป กำหนดให้ วัตถุมีความเร็วต้นดังรูป และกล่องมีความเร่งคงที่ไปทางด้านขวา แล้วภาพในข้อใด แสดงทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุภายในกล่องได้ถูกต้อง

A
B
C
D
E

ดูเฉลย

ตอบ (C)

โดยปกติแล้ว การเคลื่อนที่ที่มีความเร่งจะเคลื่อนที่แบบพาราโบลา ซึ่งตรงกับข้อ (C) และ (E)
แต่ (E) ผิด เพราะ การเคลื่อนที่นั้นจะเกิดในกรณีที่ไม่มีความเร่งในแนวนอน

6.	พิจารณาวัตถุในกล่องที่มีแรงโน้มถ่วงในทิศลง ดังรูป กำหนดให้ วัตถุมีความเร็วต้นดังรูป และกล่องมีความเร่งคงที่ไปทางด้านขวา หากเลือกขนาดความเร่งของกล่องได้ถูกต้อง วัตถุสามารถเคลื่อนที่กลับมายังจุดเริ่มได้อีกครั้ง ภาพในข้อใด แสดงทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุภายในกล่องได้ถูกต้อง

A
B
C
D
E

ดูเฉลย

ตอบ (A)

โดยปกติแล้ว การเคลื่อนที่ที่มีความเร่งจะเคลื่อนที่แบบพาราโบลา
ดังนั้น ทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุภายในกล่องจะเป็นไปตามข้อ (A)

7.	(เกินหลักสูตรการสอบเข้า สอวน.) มวลติดกับสปริงที่ยังไม่ถูกยืดออกและตรึงปลายด้านหนึ่งไว้ ถูกวางบนโต๊ะลื่น ถ้าขยับมวลออกมาด้วยระยะ A ขนานกับโต๊ะ แต่ตั้งฉากกับสปริงจนเกิดการสั่น แล้วคาบของการสั่น T จะเปลี่ยนไปอย่างไร

A	คาบของการสั่นไม่ได้ขึ้นกับระยะ A
B	เพิ่มขึ้น เมื่อ A เพิ่มขึ้น และเข้าใกล้ค่าคงที่ค่าหนึ่ง
C	ลดลง เมื่อ A เพิ่มขึ้น และเข้าใกล้ค่าคงที่ค่าหนึ่ง
D	หาค่าประมาณเป็นค่าคงที่ได้ เมื่อ A มีค่าเล็กๆ จากนั้นจะเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต
E	หาค่าประมาณเป็นค่าคงที่ได้ เมื่อ A มีค่าเล็กๆ จากนั้นจะลดลงโดยไม่มีขอบเขต

ดูเฉลย

ตอบ (C)

8.

จากกฎของเคปเลอร์ ( Kepler's Laws ) ระบุว่า
I. วงโคจรของดาวเคราะห์จะเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัส
II. เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์จะกวาดพื้นที่ได้เท่ากัน ในระยะเวลาที่เท่ากัน
III. กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์ เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอก
(semimajor axis) ของวงโคจร
กฎข้อใดจะเป็นจริง ถ้าแรงโน้มถ่วงมีสัดส่วนเป็น 1/r^₃ แทนที่จะเป็น 1/r²

A	เฉพาะข้อ I.
B	เฉพาะข้อ II.
C	เฉพาะข้อ III.
D	ข้อ I. และ II.
E	ไม่มีข้อใดเป็นจริง

ดูเฉลย

ตอบ (B)

เพราะกฎข้อที่สองเป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม จึงเป็นจริงสำหรับ central potential ใดๆ
ส่วนอีกสองข้อจำเป็นจะต้องแปรผันกับ 1/r²

9.	ลูกปัดขนาดเล็กวางอยู่บนลูกแก้วกลมลื่นที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง D ดังรูป ถ้าสะกิดให้ลูกปัดลื่นไปตามลูกแก้ว แล้วอัตราเร็ว v ของลูกปัด ขณะไหลตกจากลูกแก้วเท่ากับข้อใด

A	$\rm v = \sqrt {gD}$
B	$\rm v = \sqrt {4gD/5}$
C	$\rm v = \sqrt {2gD/3}$
D	$\rm v = \sqrt {gD/2}$
E	$\rm v = \sqrt {gD/3}$

ดูเฉลย

ตอบ (E)

หาคำตอบจากสมการ

$\begin{align*} \rm mgh &=\frac{1}{2}\rm mv^2\\ \rm{mg ~sin}\theta &= \rm m\frac{v^2}{\rm R} \end{align*}$

10.	กล่องสองใบ ถูกผูกติดกันด้วยเชือกเบาสองเส้น และนำไปแขวนไว้บนเพนดาน ดังรูป มวลของกล่องบนและล่างหนัก m₁ = 2 kg และ m₂ = 4 kg ตามลำดับ ถ้าตัดเชือกที่แขวนกับเพดานแล้วความเร่งของกล่องทั้งสองใบ ขณะกล่องใบบนสุดเริ่มร่วงลงจะเท่ากับข้อใด

A	กล่องบน: 10 m/s², กล่องล่าง: 0
B	กล่องบน: 10 m/s², กล่องล่าง: 10m/s²
C	กล่องบน: 20 m/s², กล่องล่าง: 10 m/s²
D	กล่องบน: 30 m/s², กล่องล่าง: 0
E	กล่องบน: 30 m/s², กล่องล่าง: 10 m/s²

ดูเฉลย

ตอบ (D)

แผนภาพของกล่องใบที่ 1 และ 2 ก่อนตัดเชือก สามารถใช้พิจารณาขณะเชือกถูกตัดทันทีได้ เพราะเวลาที่เชือกถูกตัดนั้นสั้นมาก และไม่ก่อให้เกิดแรงที่กระทำต่อกล่องใบที่ 1 ลองใช้ผลที่ได้จากแผนภาพหาความเร่งของกล่องทั้งสองใบดู

11.	พลังงานที่ออกมาจากรถทดลองรุ่นทรงลูกบาศก์ จะแปรผันตามมวล m ของรถ และแรงต้านอากาศต่อรถจะแปรผันตาม Av² โดย v คือ อัตราเร็วของรถ และ A คือ พื้นที่ตัดขวาง เมื่ออยู่บนถนนเรียบรถจะมีอัตราเร็วสูงสุดเป็น v_max สมมุติว่า รถรุ่นนี้มีความหนาแน่นเท่ากันทุกคัน แล้วข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง

A	$\rm {v_{\max }} \propto {{\rm{m}}^{1/9}}$
B	$\rm {v_{\max }} \propto {{\rm{m}}^{1/7}}$
C	$\rm {v_{\max }} \propto {{\rm{m}}^{1/3}}$
D	$\rm {v_{\max }} \propto {{\rm{m}}^{2/3}}$
E	$\rm {v_{\max }} \propto {{\rm{m}}^{3/4}}$

ดูเฉลย

ตอบ (A)

จากปริมาตรของลูกบาศก์ L ∝ m^1/3 ดังนั้น A ∝ m^2/3 และโจทย์ให้ความหนาแน่นเป็นค่าคงที่
จะหาความเร็วได้ ดังนี้

$\rm m ∝ P = Fv ∝ Av^3 ∝ m^{2/3} v^3$

ดังนั้น

$\rm m ∝ v^9$

12.	ให้ภาชนะที่บรรจุของเหลว มีบล็อกก้อนหนึ่งลอยแบบจมบางส่วนอยู่ ถ้าเราเพิ่มความเร่งให้ทั้งภาชนะ แล้วผลลัพธ์จะเป็นอย่างไร สมมุติว่า ทั้งบล็อกและของเหลวไม่สามารถบีบอัดได้

A	บล็อกจะจมลงไปในของเหลว
B	บล็อกในของเหลวจะลอยสูงขึ้น
C	บล็อกจะไม่ลอยหรือจมไปจากเดิม
D	คำตอบขึ้นอยู่กับทิศทางการเคลื่อนที่ของภาชนะ
E	คำตอบขึ้นอยู่กับอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร่ง

ดูเฉลย

ตอบ (C)

ส่วนที่จมหรือลอยไม่ขึ้นกับค่าความโน้มถ่วง g กล่าวคือ

ρ_{วัตถุ}gV_{วัตถุ} = ρ_เหลวgV_{แทนที่}
V_{แทนที่} = (ρ_{วัตถุ} V_{วัตถุ})/ρ_เหลว

ดังนั้น บล็อกจะไม่ลอยหรือจมไปจากเดิม

13.

วัตถุมวล m₁ เริ่มเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v₀ แล้วชนกับวัตถุที่เดิมหยุดนิ่ง มวล m₂ = αm₁ โดยที่ α < 1 การชนกันอาจจะยืดหยุ่นสมบูรณ์ ไม่สมบูรณ์ หรือยืดหยุ่นบางส่วนก็ได้ หลังการชน วัตถุทั้งสองจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว v₁ และ v₂ สมมุติว่า เป็นการชนกันหนึ่งมิติ และวัตถุแรกไม่สามารถทะลุผ่านวัตถุสองได้ แล้วอัตราส่วนอัตราเร็วของวัตถุที่สองหลังการชน r₂ = v₂ / v₀ จะอยู่ในช่วงใด

A	(1 – α) / (1 + α) ≤ r₂ ≤ 1
B	(1 – α) / (1 + α) ≤ r₂ ≤ 1 / (1 + α)
C	α / (1 + α) ≤ r₂ ≤ 1
D	0 ≤ r₂ ≤ 2 α / (1 + α)
E	1 / (1 + α) ≤ r₂ ≤ 2 / (1 + α)

ดูเฉลย

ตอบ (E)

จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม และพลังงานจลน์ ในกรณีที่การชนนั้นยืดหยุ่นสมบูรณ์ จะได้ว่า

$\begin{array}{l} \rm{r_1} = \dfrac{{{v_1}}}{{{v_0}}} = \dfrac{{1 - \alpha }}{{1 + \alpha }}\\ \rm{r_2} = \dfrac{{{v_2}}}{{{v_0}}} = \dfrac{2}{{1 + \alpha }} \end{array}$

เนื่องจาก

$\rm \alpha < 1$ วัตถุ m₁ จะมีอิทธิพลมากกว่าวัตถุ m₂ ดังนั้น การเคลื่อนที่จะยังคงไปข้างหน้า
จากกฏการอนุรักษ์โมเมนตัม ในกรณีที่การชนนั้นไม่ยืดหยุ่นสมบูรณ์ จะได้ว่า

$\rm {r_1} = {r_2} = \dfrac{1}{{1 + \alpha }}$

จากที่วัตถุ m₂ เคลื่อนที่ไปข้างหน้าเสมอ และวัตถุ m₁ ไม่สามารถทะลุผ่านวัตถุ m₂ ได้ ดังนั้น วัตถุ m₂ จะต้องเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่เป็นบวกมากกว่า (หรือเท่ากับ) วัตถุ m₁
ดังนั้น

$\rm 1/(1 + \alpha ) \le {r_2} \le 2/(1 + \alpha )$

การหาช่วงคำตอบของ วัตถุ m₁ อาจจะยากกว่าเล็กน้อย เพราะสถานการณ์นี้อาจจะมีการกระดอนกลับเกิดขึ้น แต่ในกรณีนี้

$\rm \alpha < 1$ ทำให้ความเร็วหลังการชนเคลื่อนที่ไปข้างหน้า จึงได้ว่า

$\rm (1 - \alpha )/(1 + \alpha ) \le {r_1} \le 1/(1 + \alpha )$

14.

(เกินหลักสูตรการสอบเข้า สอวน.)
กำหนดคานยาว l วางบนระนาบพื้นลื่น ปลายด้านหนึ่งถูกยึดให้หมุนรอบแกนได้ และปลายอีกด้านติดสปริงยาว L >> l ขณะยังไม่ยืดออก สปริงถูกวางอยู่บนพื้นและตั้งฉากกับคาน และสปริงฝั่งที่ติดกับคานสามารถขยับได้ และปลายอีกข้างเป็นจุดตรึง เมื่อขยับคานหมุนรอบแกนเล็กน้อย สปริงจะสั่นด้วยความถี่ f

ถ้าย้ายตำแหน่งของสปริง และจุดตรึง ไปยังจุดกึ่งกลางของคาน แล้วขยับคานเล็กน้อย ความถี่การสั่นของสปริงจะเท่ากับข้อใด

A	$\rm f/2$
B	$\rm f/\sqrt{2}$
C	$\rm f$
D	$\rm \sqrt{2}f$
E	$\rm 2f$

ดูเฉลย

ตอบ (A)

สังเกตว่า สปริงยังคงตั้งฉากกับคานเหมือนเดิม
สมมุติว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของคานรอบจุดหมุนคือ I ระยะจากจุดหมุนถึงสปริงคือ r และค่านิจสปริงคือ k เมื่อขยับคานทำมุม θ สปริงจะยืดออก θr และแรงที่กระทำโดยสปริงจะเท่ากับ kθr มีระยะห่างจากจุดหมุน r จะได้สมการการเคลื่อนที่ ดังนี้

$\begin{align*} \rm \tau &= \rm I\alpha \\ \rm - k{r^2}\theta &=\rm I\ddot \theta \end{align*}$

พิจารณา สูตรความถี่ของการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

${\rm{f = }}\dfrac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\pi }}\omega {\rm{ = }}\dfrac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}\pi }}\sqrt {\dfrac{{{\rm{k}}{{\rm{r}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{I}}}}$

จะเห็นว่า ความถี่แปรผันตรงกับระยะห่าง r เมื่อระยะห่างลดลงครึ่งหนึ่ง ความถี่ก็จะลดลงครึ่งหนึ่งเช่นกัน

15.

(เกินหลักสูตรการสอบเข้า สอวน.)
กำหนดคานยาว l วางบนระนาบพื้นลื่น ปลายด้านหนึ่งถูกยึดให้หมุนรอบแกนได้ และปลายอีกด้านติดสปริงยาว L >> l ขณะยังไม่ยืดออก สปริงถูกวางอยู่บนพื้นและตั้งฉากกับคาน และสปริงฝั่งที่ติดกับคานสามารถขยับได้ และปลายอีกข้างเป็นจุดตรึง เมื่อขยับคานหมุนรอบแกนเล็กน้อย สปริงจะสั่นด้วยความถี่ f

ถ้าย้ายสปริงกลับไปที่ตำแหน่งเดิม และให้จุดตรึงอยู่ในแนวเดียวกับคาน เมื่อขยับจุดตรึงให้ยืดออกไป l แล้วความถี่การสั่นของสปริงจะเท่ากับข้อใด

A	$\rm f/3$
B	$\rm f/\sqrt3$
C	$\rm f$
D	$\rm \sqrt3 f$
E	$\rm 3f$

ดูเฉลย

ตอบ (C)

สมมุติว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของคานรอบจุดหมุนคือ I ระยะจากจุดหมุนถึงสปริงคือ r และค่านิจสปริงคือ k เมื่อขยับคานทำมุม θ สปริงจะยืดออก θr และแรงที่กระทำโดยสปริงจะเท่ากับ kθr มีระยะห่างจากจุดหมุน r จะได้สมการการเคลื่อนที่ ดังนี้

$\rm \tau = \rm I\alpha$

$\rm - k{r^2}\theta =\rm I\ddot \theta$ --- (1)

สังเกตว่า แรงตึงในสปริงสามารถแทนด้วยค่าคงที่
พิจารณา แรงที่กระทำโดยสปริง คือ kl และระยะห่างจากจุดหมุนคือ lθ จะได้สมการการเคลื่อนที่ ดังนี้

$- {\rm{k}}{l^2}\theta = {\rm{I}}\ddot \theta$

ซึ่งตรงกับสมการการเคลื่อนที่ (1) (โดย r = l) ดังนั้น ความถี่ต้องมีค่า f เท่าเดิม

16.	ลูกบอลกลิ้งลงมาจากรถบรรทุกที่วิ่งไปทิศขวาด้วยอัตราเร็ว 10.0 m/s ส่วนลูกบอลกลิ้งตามแนวราบด้วยอัตราเร็ว 8.0 m/s ในทิศซ้ายมือของผู้สังเกตบนรถบรรทุก ถ้าลูกบอลตกลงบนพื้นถนนจากความสูง 1.25 m แล้วจุดที่ลูกบอลตกกระทบพื้นขณะนั้น จะห่างจากด้านหลังของรถบรรทุกเท่าใด

A	0.50 m
B	1.0 m
C	4.0 m
D	5.0 m
E	9.0 m

ดูเฉลย

ตอบ (C)

ใช้สูตร

$\rm d = \dfrac{1}{2}a{t^2}$

จะได้เวลาในการตกถึงพื้น 0.5s เทียบกับอัตราเร็วรถบรรทุก
ดังนั้น ระยะห่างจากรถบรรทุกเท่ากับ (8.0m/s)(0.5s) = 4.0 m

17.	(เกินหลักสูตรการสอบเข้า สอวน.) จากรูป ลูกปิงปองมวล m กลิ้งอยู่บนพื้นด้วยความเร็วต้นในแนวนอน v และความเร็วเชิงมุม ω เนื่องจากพื้นมีแรงเสียดทาน ทำให้ความเร็วและความเร็วเชิงมุมของลูกปิงปองเปลี่ยนแปลงไป จงหาความเร็ววิกฤติ vc ที่ทำให้ลูกปิงปองหยุดนิ่ง อย่าลืมว่าลูกปิงปองเป็นทรงกลมกลวง

A	$\rm v = \dfrac{2}{3}R\omega$
B	$\rm v = \dfrac{2}{5}R\omega$
C	$\rm v = R\omega$
D	$\rm v = \dfrac{3}{5}R\omega$
E	$\rm v = \dfrac{5}{3}R\omega$

ดูเฉลย

ตอบ (A)

โมเมนตัมเริ่มต้นของลูกปิงปองเท่ากับ mv และโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุดศูนย์กลางเร่มต้น เท่ากับ

$\rm I\omega = \dfrac{2}{3}m{R^2}\omega$
เมื่อลูกปิงปองสัมผัสกับพื้นที่มีแรงเสียดทาน จะเกิดแรงดล

$\rm F\delta t$ และเกิดทอร์ก

$\rm FR\delta t$
ดังนั้นเราจะได้

$\rm F\delta t = mv$ --- (1)

และ

$\rm Fr\delta t = \dfrac{2}{3}m{r^2}\omega$ --- (2)

นำ (2) ÷ (1) จะได้

$\rm R = \dfrac{2}{3}m{R^2}\dfrac{\omega }{v}$

18.	วัตถุที่เดิมหยุดนิ่ง ถูกหมุนและเร่งความเร็วจนมีความเร็วเชิงมุม $\rm ω = π /15~ rad / s$ และความเร่งเชิงมุม $\rm α = π / 75~ rad / s^2$ ถ้าวัตถุยังคงหมุนต่อด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ และหยุดด้วยความเร่งเชิงมุมที่มีขนาดเท่ากับความเร่งก่อนหน้านี้ แล้วระยะเวลาที่วัตถุจะหมุนวนครบ 3 รอบเท่ากับข้อใด

A	75 s
B	80 s
C	85 s
D	90 s
E	95 s

ดูเฉลย

ตอบ (E)

การหมุนทั้งสามแบบ คือ การหมุนด้วยอัตราเร็วเพิ่มขึ้น คงที่ และลดลง ช่วงของการเปลี่ยนความเร็วจะสมมาตรกัน โดยมีระยะห่าง

$\rm \theta = 6\pi$ จึงได้ว่า

$\rm \theta = \alpha t_1^2 + \omega {t_2}$

แต่

$\rm \omega = \alpha {t_1}$ ดังนั้น

$\rm \theta = \alpha {\left( {\dfrac{\omega }{\alpha }} \right)^2} + \omega {t_2}$

เมื่อแก้สมการจะได้ t₂ = 85 s และ t₁ = 5 s เนื่องจาก t₁ เกิดขึ้นสองครั้ง
ดังนั้น คำตอบ คือ 95 s

19.	ลวดรูปครึ่งวงกลมมีรัศมี R ถูกจับตั้ง ดังรูป ถ้าปล่อยลูกปัดให้ลื่นลงมาจากด้านบนของลวด โดยไม่มีแรงเสียดทานตามแรงโน้มถ่วง แล้วพุ่งออกจากปลายลวดลงไปยังพื้นดินที่ระดับความสูง H อยู่ไกลจากปลายลวดในแนวนอน D กราฟใดเป็นกราฟ RH เทียบกับ D² ของเหตุการณ์ดังกล่าว

A
B
C
D
E

ดูเฉลย

ตอบ (D)

ให้ v เป็นอัตราเร็วขณะลูกปัดหล่นออกจากปลายลวด จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน จะได้

$\rm\dfrac{1}{2}{v^2} = 2gR$

ให้ t เป็นเวลาที่ลูกปัดเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ จะได้ D = vt และ

$\rm H = \dfrac{1}{2}g{t^2} = \dfrac{1}{2}g{\left( {\dfrac{D}{v}} \right)^2}$

รวมสมการจะได้

$\rm H = \dfrac{1}{8}\dfrac{{{D^2}}}{R}$

ดังนั้น กราฟ RH เทียบกับ D² จะเป็นเส้นตรง

20.	ปริซึมมุมฉาก มีหน้าตัดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สูง h ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว w = 2h วางอยู่บนพื้นเอียงที่ทำมุมกับแนวนอน θ ข้อใดคือสัมประสิทธิ์ต่ำสุดของแรงเสียดทานสถิตที่ทำให้ปริซึมหมุนกลิ้งลงมา (โดยมีจุดยอดหนึ่งเป็นจุดหมุน) และไม่ไถล

A	0.71
B	1.41
C	1.50
D	1.73
E	3.00

ดูเฉลย

ตอบ (E)

ปริซึมจะหมุนกลิ้งลงมา เมื่อจุดศูนย์กลางมวลของปริซึมอยู่สูงกว่ามุมขวาของด้านที่วางบนพื้นเอียง หากอธิบายด้วยตรีโกณมิติ จะกล่าวได้ว่า ปริซึมจะหมุนกลิ้งลงมา เมื่อ

$\rm \tan \theta > \mu$

จะเห็นว่าค่าที่สอดคล้อง คือ ข้อ (E)

21.	คานเบายาว L ที่วางตัวในแนวดิ่งและปลายบนติดกับมวล m ปลายล่างสัมผัสกับพื้นและติดกับมวล 3m กำหนดให้ไม่มีแรงเสียดทาน และสมมุติว่าทุกอย่างเคลื่อนที่ในระนาบเดียว ถ้า x เป็นระยะกระจัดในแนวนอนของมวล m เมื่อกระทบพื้น แล้วค่า x มีค่าเท่ากับข้อใด

A	$\rm x=\dfrac{3}{4}L$
B	$\rm x=\dfrac{3}{5}L$
C	$\rm x=\dfrac{1}{4}L$
D	$\rm x=\dfrac{1}{3}L$
E	$\rm x=\dfrac{2}{5}L$

ดูเฉลย

ตอบ (A)

เนื่องจากจุดศูนย์กลางมวลของระบบไม่สามารถเคลื่อนที่ในแนวนราบได้ จึงไม่แรงที่กระทำกับในแนวนอน
ดังนั้น

$\rm x=\dfrac{3}{4}L$

22.	คานเบายาว L ที่วางตัวในแนวดิ่งและปลายบนติดกับมวล m ปลายล่างสัมผัสกับพื้นและติดกับมวล 3m กำหนดให้ไม่มีแรงเสียดทาน และสมมุติว่าทุกอย่างเคลื่อนที่ในระนาบเดียว ถ้า v เป็นอัตราเร็วของมวล m เมื่อกระทบพื้น แล้วค่า v มีค่าเท่ากับข้อใด

A	$\rm v = \sqrt {2gL}$
B	$\rm v = \sqrt {gL}$
C	$\rm v = \sqrt {2gL/3}$
D	$\rm v = \sqrt {3gL/2}$
E	$\rm v = \sqrt {gL/4}$

ดูเฉลย

ตอบ (A)

มวล m จะเคลื่อนที่เฉพาะในแนวตั้งก่อนตกถึงพื้น และในขณะนั้นมวล 3m จะถูกทำให้เคลื่อนที่ แต่ตอนนี้มวล 3m จะยังอยู่นิ่งก่อน และพลังงานจะถูกสงวนไว้ ดังนั้น ทุกพลังงานศักย์ที่จุดศูนย์กลางมวลของระบบจะอยู่ในมวล m จะได้ว่า

$\rm U = 4mgh$

เมื่อ h คือ ความสูงของจุดศูนย์กลางมวล โดยที่

$\rm h = \dfrac{1}{4}L$
ดังนั้น

$\rm U = mgL$

และแน่นอนว่า เราต้องแปลงเป็นพลังงานศักย์ของมวล m ก่อนจะได้

$\rm mgL = \dfrac{1}{2}m{v^2}$

ดังนั้น

$\rm v = \sqrt {2gL}$

23.	หนังยางสม่ำเสมอมวล M และมีค่านิจสปริง k มีรัศมีเดิม R ถ้าขว้างหนังยางออกไปในอากาศ โดยสมมุติว่า หนังยางยังคงเป็นวงกลม และหมุนด้วยอัตราเร็วเชิงมุม ω รอบจุดศูนย์กลางวงแล้วข้อใด คือ รัศมีใหม่ของหนังยาง

A	$\rm ( 2πkR ) / ( 2πk - Mω^2 )$
B	$\rm( 4πkR ) / ( 4πk - Mω^2 )$
C	$\rm ( 8π^2 kR ) / ( 8π^2 k - Mω^2 )$
D	$\rm ( 4π^2 kR ) / ( 4π2 k - Mω^2 )$
E	$\rm ( 4πkR ) / ( 2πk - Mω^2 )$

ดูเฉลย

ตอบ (D)

สำหรับองค์ประกอบของมวล

$\rm\Delta M$ ให้พิจารณา

$\rm 2T\sin \dfrac{{\Delta \theta }}{2} = \Delta m{\omega ^2}R'$

จาก

$\sin \dfrac{{\Delta \theta }}{2} \approx \dfrac{{\Delta \theta }}{2}$ จะได้ว่า

$\rm T = \dfrac{M}{{2\pi }}{\omega ^2}R'$

ในขณะที่

$\rm T = k2\pi (R' - R)$

เทียบ T ทั้งสองสมการ แล้วจัดรูปจะได้

$\rm R' = \dfrac{{4{\pi ^2}kR}}{{4{\pi ^2}k - M{\omega ^2}}}$

24.	โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสม่ำเสมอมวล m แต่ละด้านยาว a แกนที่ผ่านด้านใดด้านหนึ่งและขนานกับด้านนั้นเท่ากับ (1/8)ma² แล้วโมเมนต์ความเฉื่อยของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามวล m แต่ละด้านยาว a แกนที่ผ่านสองจุดที่อยู่ฝั่งตรงข้าม เท่ากับข้อใด

A	(1/8)ma²
B	(5/24)ma²
C	(17/72)ma²
D	(19/72)ma²
E	(9/32)ma²

ดูเฉลย

ตอบ (B)

เราสามารถแบ่งรูปหกเหลี่ยมมวล m เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าได้หกอัน โดยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่อันจะรวมกันได้ (1/8)(m/6)a² ส่วนอีกสองอันจะรวมกันได้ ((1/24+1/3)a²)(m/6) ตามทฤษฎีบทของแกนขนาน
เมื่อรวมทั้งหมดจะได้ (5/4)(m/6)a² = (5/24)ma²

25.

นักเรียนสามคน วัดความยาวคานยาว 1.50 เมตร แต่ละคนรายงานความคลาดเคลื่อนในการประมาณค่า เพื่อให้ทราบข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นจากการวัด ดังนี้

ก : วัดครั้งเดียว โดยใช้ตลับเมตรความยาว 2.0 เมตร มีความคลาดเคลื่อน ± 2 มิลลิเมตร

ข : วัดสองครั้ง โดยใช้ไม้เมตร แต่ละครั้งมีความคลาดเคลื่อน ± 2 มิลลิเมตร ซึ่งเขารวมความคลาดเคลื่อนเข้าด้วยกัน

ค : วัดสองครั้ง โดยใช้ไม้บรรทัดสเกลละเอียดสำหรับงานช่าง แต่ละครั้งมีความคลาดเคลื่อน ± 1 มิลลิเมตร ซึ่งเขารวมความคลาดเคลื่อนเข้าด้วยกัน

จากข้อมูล ครูต้องเลือกข้อมูลที่มีความผิดพลาดน้อยที่สุด ข้อใดจัดลำดับความน่าเชื่อถือได้ถูกต้อง

A	ค > ก > ข
B	ก > ค > ข
C	ก = ค > ข
D	ค > ( ก = ข )
E	ก > ( ข = ค )

ดูเฉลย

ตอบ (A)