การหาค่ามอดูลัสของยัง (Young's modulus) โดยใช้สายกีตาร์

 

          ค่ามอดูลัสของยัง (Young's modulus) คือคุณสมบัติเชิงกลของวัสดุที่บอกว่าวัสดุนั้นความแข็งเกร็ง (stiffness) มากน้อยแค่ไหน โดยเป็นความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นกับความเครียด มอดูลัสของยังสามารถเขียนเป็นสมการได้เป็น
   
 

          โดย E คือมอดูลัสของยัง นิยมเขียนในหน่วยกิกะปาสกาล (GPa) โดยมีความเค้น (stress) \(σ=\frac FA\)  และความเครียด (strain) \(ϵ=\frac {Δl} {l_0}\) แม้เราจะเรียกว่ามอดูลัสของความยืดหยุ่นหรือมอดูลัสของยังตามชื่อนักวิทยาศาสตร์โทมัส ยัง แต่แท้จริงแล้วมีผู้เสนอแนวคิดนี้ก่อนเขาประมาณแปดสิบปีคืออัจฉริยะนักคณิตศาสตร์ ออยเลอร์ (Leonhard Euler)


          แต่เราจะหาค่ามอดูลัสของยังได้อย่างไรนี่คือปัญหา เช่นสายกีตาร์แต่ละชนิดแต่ละยี่ห้อก็มีค่ามอดูลัสของยังแตกต่างกันไป เราจะหาค่านี้ได้อย่างไร Freek Pols ได้ตีพิมพ์บทความเรื่อง “The sound of music: determining Young's modulus using a guitar string” ลงในวารสาร Physics Education เมื่อวันที่ 1 เมษายน ค.ศ. 2021 เพื่อทำการหาค่ามอดูลัสของยังโดยใช้สายกีตาร์


          สายกีตาร์เกิดเสียงจากการสั่นของสายกีตาร์สร้างเป็นคลื่นเสียง ความถี่ธรรมชาติของสายกีตาร์ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นและความเร็วของคลื่นคือ f₀=v/λ₀ โดยที่ λ₀=2L ซึ่ง L คือความยาวของสายกีตาร์ ส่วนความเร็วของคลื่น v ขึ้นอยู่กับความตึงและวัสดุของสายกีตาร์คือ √(F/μ) โดยที่ μ คือมวลต่อหน่วยความยาวหรือเขียนได้เป็น \(μ=\frac m L\) ผู้เขียนเคยไปเรียนการดีดกีตาร์เรียนตั้งนานก็ยังจับคอร์ดเป็นแค่สี่คอร์ด คงเป็นนักดนตรีไม่ได้แล้วก็เลยหันมาเรียนด้านวิทยาศาสตร์ดีกว่า แต่ผู้เขียนก็ยังพอตีคอร์ดเป็นและยังทราบอีกว่าการเปลี่ยนความตึงของสายกีตาร์จะเปลี่ยนความถี่ของเสียงที่ได้ออกมา ถ้าเสียงของกีตาร์เพี้ยนก็แค่เปลี่ยนความตึงของสายกีตาร์ แต่ถ้าตึงมากเกินไปสายกีตาร์ก็ขาดต้องหาเงินมาซื้อใหม่ อย่างไรก็ตามการเปลี่ยนความตึงของสายกีตาร์สามารถคำนวณได้โดย F=σA=EϵA โดยที่ E คือค่ามอดูลัสของยังและ ϵ คือความเครียด เขียนเป็นความสัมพันธ์ใหม่ของความถี่และการเปลี่ยนของความยาวของสายกีตาร์จะได้เป็น    
 

          เพื่อที่จะทำการทดลองเราได้ใช้โซโนมิเตอร์ (sonometer) มันคืออุปกรณ์เครื่องวัดชนิดหนึ่งเพื่อใช้วัดความตึง ความถี่ของเส้นสายต่างๆที่ถูกขึงตรึงเอาไว้ โดยในการทดลองนี้ความถี่จะเป็นฟังก์ชันของความยาวของเส้นกีตาร์ที่เพิ่มขึ้น โดยที่ปลายด้านหนึ่งของโซโนมิเตอร์จะถูกตรึงไว้กับที่ขณะที่ปลายอีกด้านหนึ่งสามารถปรับความยาวได้ทีละน้อยอย่างแม่นยำโดยใช้ลูกบิด และความถี่ที่มาจากสายกีตาร์จะถูกวัดโดยสมาทโฟน โดยอาจใช้โปรแกรมเช่น gStrings หรือ Phyphox เป็นต้น เมื่อเราได้ค่าความยาวที่เปลี่ยนไปของสายกีตาร์กับความถี่ของมันเราก็นำมาบันทึกผลและสร้างเป็นกราฟความสัมพันธ์ ผลการทดลองกับสายกีตาร์ไนลอนความหนา (0.58±0.01)  mm จากกราฟพบว่าผลการวัดห้าค่าแรกสอดคล้องกับทางทฤษฎีคือค่ามอดูลัสของยัง E=(4.1±0.1)  GPa ขณะที่ค่าอื่นๆต่อมาแตกต่างจากทางทฤษฎีเพราะสายกีตาร์ถูกยืดจนเกินไปทำให้เกิดการเปลี่ยนรูปแบบพลาสติก (plastic deformation)

 

          การทดลองนี้พบว่าสามารถวัดค่ามอดูลัสของยังได้ค่อนข้างแม่นยำ ในการทดลองครั้งนี้ยังมีผลการทดลองที่มีความผิดพลาดไม่ตรงกันระหว่างค่าที่วัดได้กับทางทฤษฎี อันเป็นผลเนื่องมาจากอุปกรณ์ที่ซื้อมามีคุณสมบัติไม่ตรงตามที่โฆษณาไว้ ซึ่งเป็นข้อควรระวังในการซื้อสายกีตาร์มาทำการทดลอง

 

อ้างอิง

• Pols, F. (2021). The sound of music: determining Young’s modulus using a guitar string. Physics Education, 56(3), 035027.
• https://www.britannica.com/science/Youngs-modulus